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By F R Nevanlinna

ISBN-10: 3662215942

ISBN-13: 9783662215944

Das vorliegende Werk ist als Ergebnis von Vorlesungen entstanden, welche die Verfasser seit 1953 im Laufe von mehreren Jahren an den Universitäten Helsinki und Zürich gehalten haben. Die nachfolgende Einleitung gibt über die Tendenzen Aufschluß, die für unsere Darstellung der Grundlagen einer absoluten, koordinaten- und dimensionsfreien Infinitesimalrechnung maßgebend gewesen sind. Die Lektüre setzt an Vorkenntnissen nur wenig voraus; sie kann jedem Studierenden emp­ fohlen werden, der mit dem üblichen, auf die Benutzung von Koordi­ naten fußenden Aufbau der Elemente der analytischen Geometrie, der Differential- und Integralrechnung und der Theorie der Differential­ gleichungen vertraut ist. Unsere Arbeit ist durch die Hilfe wesentlich erleichtert worden, die uns von mehreren Seiten zuteil geworden ist. Herr Ilppo Simo Louhi­ vaara hat von Anfang bis zu Ende an der Herstellung dieses Werkes mit unermüdlichem Interesse und minutiöser Sorgfalt teilgenommen und durch zahlreiche sachliche und formelle Bemerkungen und Vor­ schläge unsere Arbeit wesentlich gefördert. Für seine wertvolle, auf­ opfernde Unterstützung sprechen wir hier unseren herzlichen Dank aus. Den Herren H. Keller, T. Klemola, T. Nieminen, Ph. Tondeur und ok. 1. Virtanen, die unsere Darstellung im Manuskript gelesen haben, verdanken wir verschiedene wichtige kritische Bemerkungen. Unser Dank gilt auch Herrn Professor Dr. F. okay. Schmidt für die Aufnahme dieses Werkes in die Reihe der Grundlehren der mathema­ tischen Wissenschaften, und dem Springer-Verlag, der unseren Wünschen mit freundlicher Bereitwilligkeit entgegengekommen ist.

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7. Es seien R"; und R~ lineare Räume, in denen je eine reelle Bilinearfunktion gegeben ist, die wir kurz mit (Xl' x 2)x bzw. (Yl, Y2)Y bezeichnen. Man zeige: a. so können die linearen Abbildungen Y = A X von R"; in R~ und die linearen Abbildungen x = A * Y von R~ in R"; paarweise zueinander ad-jungiert werden, so daß identisch in x und Y (A x, Y)y = (x, A* y)x. I. Lineare Algebra 42 b. Sind die Bilinearfunktionen überdies definit, so ist Rr; = K(A) + A* RZ, RZ = K(A*) + A R~', wo K (A) und K (A *) die Kerne der Abbildungen A bzw.

1 T. Nieminen [lJ. Nevanlinna, Absolute Analysis. 4 50 I. Lineare Algebra Substituiert man hier statt m L: X= i~o Xo fti Xj = x m + m-l L: j~O fti(Xj - x m), so wird L1(x, Xm ) Xl"'" = -ft°D(x l - xm )··· (X m - l - Xm ) (Xo - Xm ) = ft°L1(x o , Xl"'" Xm), woraus zu sehen ist, daß die obige Gleichung auch für i = 0 besteht. 6, so hat man den Hilfssatz A. Sind Simplexe derselben m-dimensionalen Hyperebene mit dem gemeinsamen Seitensimplex S:,-1 (xo, ... , Xi, .. " x m ) und ist in der baryzentrischen Darstellung von X in bezug auf sm der Koeffizient von Xi gleich fti, so hat man für i = 0, ...

Dann ist aber x3, ... •. ,x!. • , x~ und die entsprechenden LI-Glieder der obigen Doppelsumme heben sich somit auf. In dieser Doppelsumme bleiben also nur diejenigen Glieder übrig, die von solchen Seiten simplexen sm -1 der Teilsimplexe herrühren, die keine inneren, somit lauter Randpunkte des zerlegten Simplexes sm enthalten. Verlegt man jetzt noch den Punkt x in einen Eckpunkt dieses Simplexes, z. B. in x o , so bleiben nur die dem gegenüber X o liegenden 4* 52 I. Lineare Algebra Seitensimplex s8'-1 von sm entsprechenden Glieder übrig.

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