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Dies sind aber im gewissen Sinne auch schon die Prototypen von quadratischen Formen.

1 entspricht der Menge der Stellen, die eine 1 enthalten etc. Die im letzten Lemma auftretenden Zahlen heißen Multinomialkoeffizienten. Der Name erkl¨ art sich aus der Formel (a1 + · · · + an )r = i1 +···+in =r r! ai1 · · · ai1n , i1 ! . in ! 1 Multinomialkoeffizienten und multinomische Formeln die das Produkt der linken Seite als Summe von Multinomen mit geeigneten Koeffizienten (eben den Multinomialkoeffizienten) schreibt. Den Beweis ¨ dieser Formel als auch des Lemmas lassen wir als Ubung.

Bemerkung. Die Richtungsableitung Dfv (a) mißt gem¨aß ihrer Definition die Steigung des Graphen Gf im Punkt a in Richtung v. Der Satz besagt also, daß der Gradient die Richtung der st¨arksten Steigung (oder des st¨arksten Gef¨ alles) angibt. 7 Spur und Determinante einer Ableitung 43 Beweis. Es gilt ja nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Du f (a) = Df (a)(u) = ∇f (a), u ≤ ∇f (a), ∇f (a) 1 2 1 u, u 2 , und Gleichheit gilt genau dann, wenn u und ∇f (a) linear abh¨angig sind. Ist X = Rn und bezeichnet Gf ⊂ Rn+1 den Graphen von f , so bezeichnet man als Tangentialebene an Gf im Punkt a die Menge (a, f (a))t + {(x, y)t : x ∈ Rn , y = Jf (a) · x}.

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